Теорія оптимального портфеля. Формування оптимального портфеля з обмеженої кількості цінних паперів.  

Теорія оптимального портфеля. Формування оптимального портфеля з обмеженої кількості цінних паперів.

Розглянемо принципи Марковіца і Тобіна постановки задач формування оптимальних портфелів цінних паперів. Для цього введемо кілька позначень:

– частка паперів -го виду в портфелі, ;

– математичне очікування прибутковості -го виду паперів,

– ризик -го виду паперів (середньоквадратичне відхилення прибутковості).

Прибутковість портфеля можна розглядати як середньозважену величину від доходностей паперів, що його утворюють:

(6.12)

Зазвичай, і середня ринкова прибутковість визначається як середньозважена прибутковість всіх акцій ринку. Цей показник розраховують за акціями найбільш представницьких компаній. Індексів, застосовуваних у міжнародній практиці, досить багато. У США, наприклад, дуже представницьким вважається індекс компанії “Standart and Poors”, розрахований за акціями 500 найбільших компаній. Оскільки одночасно максимізувати ефективність і мінімізувати ризик не можна, то доводиться оптимізувати щось одне, накладаючи обмеження на інший параметр.

Портфелі мінімального ризику формуються шляхом вимоги мінімізації ризику за умови обмеження на прибутковість. Портфель Тобіна від портфеля Марковіца відрізняється тим, що в нього включені безризикові цінні папери.

Портфель мінімального ризику:

(6.13)

де – частка капіталу, вкладеного в безризикові цінні папери,

– ефективність безризикових цінних паперів.

Портфелі максимальної ефективності формуються шляхом вимоги максимізації прибутковості за умови обмеження на ризик. Портфель Тобіна відрізняється тим, що в нього включені безризикові цінні папери.

Портфель максимальної ефективності:

(6.14)

.

У реальності портфелі Марковіца і Тобіна – абстракції, тому що для кожного цінного паперу, що обертається на ринку, неможливо вірогідно знати ні його доходності, ні середньоквадратичного відхилення. Крім того, хоч би яким великим був портфель окремого інвестора, він не може повторити структуру ринку через розрахункову мізерність часток багатьох видів акцій, необхідних для його складу. Такий спосіб формування портфеля акцій прийнятний лише до певної міри і лише для великих гравців на фондових біржах. Тому для практичних цілей пропонуються рішення у вигляді рекомендаційних порад. Вважається, що стійкий до коливань ринку пакет акцій має складатися як мінімум з цінних паперів 12 різних компаній. Приблизно третина акцій має придбаватися у великих і найбільших компаній, третина – у середніх і третина – у швидко зростаючих невеликих фірм. Відомо також “правило п’яти пальців руки”, за яким з кожних п’яти акцій у пакеті одна принесе збиток, три більш-менш принесуть очікувані дивіденди, а одна дасть значно кращі результати, ніж очікувалося. З огляду на це часто мінімальною кількістю різних видів акцій в оптимальному портфелі вважається число п’ять.



Ризикованість одного активу вимірюється дисперсією або середньоквадратичним відхиленням доходів по цьому активу, а ризик портфелю – дисперсією або середньоквадратичним відхиленням доходів портфелю. При визначенні стандартного відхилення портфелю користуються коваріацією – статистичною мірою взаємодії двох випадкових змінних. Тобто, це міра того, наскільки дві випадкові величини (наприклад, доходності двох цінних паперів), залежать один від одного. Додатне значення показника коваріації показує, що доходності цих паперів мають тенденцію змінюватися в один бік, від’ємне значення свідчить про те, що доходності мають тенденцію компенсувати один одну. Відносно невелике або нульове значення коваріації показує те, що зв’язок між доходністю цих паперів слабкий або відсутній зовсім. Коваріацію кожної пари активів можливо знайти за формулою:

(6.15)

де , - цінні папери;

- кількість інтервалів часу в розглянутому періоді (період вибірки).

Якщо соv (х,у) >0, то прибутковості цінних паперів х і у мають тенденцію змінюватися в одну сторону, наприклад краща, чим очі­кувана, прибутковість одного із цінних паперів повинна, ймовірно, спричинити кращу, чим очікувана, прибутковість іншого цінного папера.

Якщо соv (х,у) <0, то прибутковості цінних паперів х і у мають тенденцію компенсувати одна одну, наприклад краща, чим очіку­вана, прибутковість одного цінного паперу супроводжується, як правило, гіршої, чим очікувана, прибутковістю іншого цінного паперу.

Відносно невелике або нульове значення коваріації, показує, що зв'язок між прибутковістю цих цінних паперів слабкий або відсутній взагалі.

Формування оптимального портфеля з обмеженої кількості цінних паперів Ефективність цінного паперу або норма прибутку в -му періоді визначається формулою:

(6.16)

де – ціна паперу наприкінці -го періоду;

– ціна папера наприкінці -го періоду;

– дивіденди, нараховані в -му періоді.

Оптимальне значення частки паперу першого виду:

.

де – ступінь ризику паперів (дисперсія), %;

– коефіцієнт кореляції (в межах від -1 до 1; чим ближче до 1 тим тісніший зв’язок між нормами прибутку двох цінних паперів; чим ближче до 0, тим слабший зв’язок між нормами прибутку; якщо він додатній – то зростання (зниження) норми прибутку одного паперу відбувається одночасно із зростанням (зниженням) норми прибутку іншого паперу; якщо від’ємний – то зростання (зниження) норми прибутку одного цінного паперу відбувається одночасно із зниженням (зростанням) норми прибутку іншого цінного паперу.

Тоді оптимальне значення частки паперу другого виду

Середня ефективність портфеля з двох цінних паперів та дисперсія ( ризик):

Норма прибутку портфеля цінних паперів, що складається із паперів, що мають ризик і з без ризикових паперів:

де – частка капіталу, вкладена у ризикові папери;

– ефективність ризикових паперів;

– частка капіталу, вкладена у без ризикові папери;

– відсоток прибутку безризикових паперів.

Тоді ризик (дисперсія):

, звідки:

де – ризик ризикових паперів.

Тоді норма прибутку такого портфеля:

Отримане співвідношення – відома модель ринків капіталів, яка встановлює норми прибутку портфеля від ринкового ризику. Коефіцієнт показує, наскільки зміниться норма прибутку портфеля, якщо ризик зміниться на 1 %.

Випадкову величину ефективності -го виду цінних паперів позначимо через . Очікувану ефективність -го ЦП позначимо через , варіацію , коваріацію між і – . Нехай – частка загального вкладення, що припадає на -й вид ЦП так, що . Тоді очікувана ефективність портфеля , а дисперсія ефективності . Математична модель знаходження оптимального портфеля має вигляд:

, (6.17)

(6.18)

Задача полягає у знаходженні , які мінімізують варіацію портфеля за умови, що забезпечується задане значення очікуваної ефективності. Прийнято розглядати два випадки: і довільного знака (або розміщене в деякому проміжку). Якщо , то це означає, що папери -го виду рекомендується взяти в борг або взяти в борг гроші під відсоток (допускається short sale) для формування необхідного портфеля. У випадку допустимості short sale розв’язання подається у вигляді:

, (6.19)

де (6.20)

Обчислення за цією формулою дуже об’ємні. Тому задачу слід розв’язувати за допомогою комп’ютера. У разі неприпустимості short sale обчислення ще складніші. Але при розв’язанні за допомогою комп’ютера це не має ніякого значення. Тому тут розглядаємо тільки випадок допустимості short sale.

У випадку, якщо на ринку цінних паперів є безризикові цінні папери, то структура ризикової частини в оптимальному портфелі постійна. Тому. якщо на ринку цінних паперів є безризикові, то інвестор на свій розсуд (у міру його схильності до ризику) вибирає, яку частину капіталу вкласти в безризикові, а яку в ризикові. При цьому структура ризикової частини визначається однозначно, незалежно від схильності до ризику інвестора. Нехай є безризикові цінні папери з ефективністю . Якщо задається , то структура оптимального портфеля у випадку допустимості short sale визначається формулою:

(6.21)

де – частка безризикових цінних паперів.

де чи .(6.22)

Структура ризикової частини знаходиться за формулою:

.(6.23)

При цьому:

(6.24)

У випадку двох ЦП виклад істотно спрощується:

(6.25)

Зокрема, якщо другий ЦП безризиковий, то

(6.26)

Приклад 6.2. Шляхом обробки тимчасових рядів, визначено імовірнісні характеристики трьох цінних паперів (табл.6.5).

Таблиця 6.5

Математичне очікування і коваріація цінних паперів

Математичне очікування Коваріація
І ІІ ІІІ
І І -2
ІІ ІІ -1
ІІІ ІІІ -2 -1

Необхідно: знайти структуру оптимального портфеля і відповідний ризик за умови очікуваної ефективності портфеля =6%; визначити оптимальну структуру ризикової частини портфеля, за умови, що є безризикові цінні папери з ефективністю 2%; визначити його ефективність та ризик.


1910729969302611.html
1910822517113264.html
    PR.RU™